Οι αντιλήψεις των μαθητών που δεν έχουν διδαχθεί Απειροστικό Λογισμό για το άπειρο

2014-11-10 00:30

Περίληψη

Η εργασία αυτή αφορά σε μια ερευνητική παρέμβαση σχετικά με τις αντιλήψεις των μαθητών/τριών της Α΄ Λυκείου για το άπειρο. Χρησιμοποιώντας το εργαλείο του άπειρου ξενοδοχείου, επικεντρωθήκαμε στη διαίσθηση των μαθητών/τριών για το άπειρο, τα μαθηματικά εργαλεία που οι μαθητές/τριες χρησιμοποιούν για να τεκμηριώσουν τους ισχυρισμούς τους και τη σταθερότητα των αντιλήψεών τους σχετικά με το άπειρο. Εντοπίσαμε ότι το άπειρο γίνεται αντιληπτό περισσότερο ως δυνητικό παρά ως πραγματικό, ενώ τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούν οι μαθητές/τριες συμβάλλουν κατά περίπτωση και στις δύο πτυχές του απείρου. Όπως επιβεβαιώνεται και από την υπάρχουσα βιβλιογραφία, οι αντιλήψεις για το άπειρο είναι δύσκολα μεταβαλλόμενες.

Abstract

This project concerns a research intervention on the perceptions of A Lyceum students about infinity. Using the tool of the infinite hotel, we focused on students’ intuition about infinity, on the math tools students use to substantiate their claims and on the stability of their perceptions. We found that infinity is perceived more as potential rather than as actual and that the mathematical tools used by students appear to contribute to both aspects of infinity. As confirmed by the existing literature, perceptions of infinity seem hard to change.

Εισαγωγή

Από αρχαιοτάτων χρόνων το άπειρο απασχόλησε μαθηματικούς και φιλοσόφους. Η έννοια του απείρου έχει αντιφατική φύση, καθώς έρχεται αντιμέτωπη με τα νοητικά μας σχήματα τα οποία έχουν προσαρμοστεί σε έναν πεπερασμένο κόσμο. Η Artigue (1997) αναφέρει πως έρευνες διεθνώς έχουν καταδείξει ότι οι μαθητές/τριες εμφανίζουν προβλήματα στον απειροστικό λογισμό, όπως είναι η δυσκολία στην κατασκευή των πραγματικών αριθμών, καθώς και η κατανόηση των εννοιών της συνάρτησης και του ορίου. Πολλές φορές μάλιστα παρουσιάζεται διάσταση μεταξύ του αναλυτικού και αλγεβρικού τρόπου σκέψης.  

Θεωρούμε ότι αξίζει να μελετηθεί κατά πόσο η συστηματική εισαγωγή της έννοιας του απείρου σε μικρότερες ηλικίες θα βοηθούσε τόσο στην αντιμετώπιση των παραπάνω, όσο και γενικότερα στην επίτευξη των στόχων που τίθενται κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία.  Από τους/τις ερευνητές/τριες έχουν διατυπωθεί συγκεκριμένες προτάσεις για τον τρόπο εισαγωγής του απείρου (π.χ. Dötschel 2011), χωρίς όμως να έχει τεκμηριωθεί το ζήτημα ενδελεχώς. Η συγκεκριμένη εργασία μέσα από τη χρήση του παραδόξου του άπειρου ξενοδοχείου του Hilbert, προσπαθεί να μελετήσει τους τρόπους με τους οποίους οι μαθητές/τριες μιας τάξης της Α΄ Λυκείου πραγματεύονται ζητήματα σχετικά με την έννοια του απείρου.

Θεωρητικό πλαίσιο

Στη διδακτική των μαθηματικών πληθώρα ερευνών ασχολείται με τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές/τριες στην κατανόηση της έννοιας του απείρου. Ο πραγματικός κόσμος, άλλωστε, είναι πεπερασμένος και γι’ αυτό δεν υπάρχουν αφορμές για συζητήσεις για το άπειρο (Jirotková & Littler, 2004· Fischbein, Tirosh, & Hess, 1979· Monaghan, 2001), τη στιγμή που οι μαθητές/τριες μπορούν να αντιληφθούν πράγματα όταν βασίζονται στις προηγούμενες εμπειρίες τους (Tall & Tirosh, 2001). Επίσης, στα περισσότερα σχολικά βιβλία των μαθηματικών η έννοια του απείρου, ενώ υπεισέρχεται σε αρκετά θέματα, δε γίνεται αντικείμενο μελέτης και η λέξη «άπειρο» φαίνεται να αποκρύπτεται ή να αποφεύγεται, γεγονός που παρατηρεί και η Dötschel (2011) στα σχολικά εγχειρίδια της Γερμανίας και προτείνει τρόπους ένταξης της έννοιας του απείρου στα αναλυτικά προγράμματα.

Ο Tall εξετάζει πώς το ανθρώπινο μυαλό σκέφτεται άπειρες διαδικασίες και κάνει διάκριση ανάμεσα σε «φυσικές» (natural) και «τυπικές» (formal) διαδικασίες (Tall & Tirosh, 2001). Οι φυσικές διαδικασίες προκύπτουν από την επέκταση πεπερασμένων διαδικασιών, κάτι που οι Jirotková και Littler (2004) αναφέρουν ότι συμβαίνει καθώς οι μαθητές/τριες βασίζονται σε προϋπάρχουσες εμπειρίες, ενώ οι «τυπικές» διαδικασίες αφορούν στις σύγχρονες αξιωματικές προσεγγίσεις. Η ανάκληση ή μη των μαθηματικών γνώσεων κατά τους Fischbein κ.ά. (1979) είναι πιθανό να καθορίζει και τη φύση των απαντήσεων των μαθητών/τριών. Οι απαντήσεις αυτές και γενικότερα οι αντιλήψεις τους για το άπειρο είναι, όμως, εύκολα μεταβαλλόμενες σε μικρές ηλικίες και εξαρτώνται από το εκάστοτε πλαίσιο, ενώ μετά την ηλικία των 12 χρόνων σχετικά σταθεροποιούνται (Fischbein κ.ά., 1979· Jirotková & Littler, 2004· Monaghan, 2001). Παρ’ όλα αυτά, κατά τους Fischbein κ.ά.(1979) η φύση των διαισθητικών[1] απαντήσεων των μαθητών/τριών δεν επηρεάζεται ούτε από την ηλικία ούτε από τη διδακτική διαδικασία.

Η Dötschel (2011), ρωτώντας μαθητές/τριες και μελλοντικούς/ές καθηγητές/τριες «Τι είναι άπειρο;», κατηγοριοποίησε τις απαντήσεις τους ανάλογα με την έμφαση που δίνουν στην επαναληπτικότητα (π.χ. δε σταματάει ποτέ), στην ψηφιοποίηση (π.χ. ένας άσσος με πάρα πολλά μηδενικά), στη μεταφυσική διάσταση (π.χ. Θεός), στη φορμαλιστική/ συμβολική διάσταση (π.χ.  QUOTE   ) και στο μέγεθος (π.χ. αφάνταστα μεγάλο). Οι απαντήσεις έδειξαν ότι οι αντιλήψεις τους για το άπειρο είναι μη μαθηματικές και κυρίως διαισθητικές.

            Οι αντιλήψεις των μαθητών/τριών αφορούν τις περισσότερες φορές στο εν δυνάμει άπειρο ή δυνητικό (potential infinity), δηλαδή στο άπειρο ως διαδικασία, ενώ πολύ λιγότερες στο πραγματικό άπειρο (actual infinity) (Jirotková & Littler, 2004· Mamolo & Zazkis, 2008· Monaghan, 2001). Αυτό δικαιολογείται από τους Jirotková και Littler (2004) από το γεγονός ότι το πραγματικό άπειρο αντιτίθεται σε πολλές διαισθητικές τους ιδέες, οι οποίες κατά τους Fischbein κ.ά. (1979) παραμένουν ανθεκτικές μετά την ηλικία των 12 χρόνων. Γενικά, το άπειρο θεωρείται μια έννοια διαισθητικά αντιφατική (Fischbein κ.ά., 1979· Monaghan, 2001). Όταν οι μαθητές/τριες αναφέρονται στο πραγματικό άπειρο είναι συχνά για να δηλώσουν το άπειρο ως έναν πολύ μεγάλο αριθμό ή ως πληθικότητα (Monaghan, 2001), αλλά συνήθως δυσκολεύονται να αποδεχθούν την ύπαρξή του (Mamolo & Zazkis, 2008). Ο Fischbein αναφέρει ότι το άπειρο ταυτίζεται διαισθητικά για τους/τις μαθητές/τριες με κάτι το ανεξάντλητο (Μπαμπίλη, 2010), δηλαδή με κάτι το οποίο δεν έχει κανένα όριο. Ο Monaghan (2001) επισημαίνει ότι τα παιδιά συνήθως χρησιμοποιούν τη λέξη άπειρο ως επίθετο (αναφερόμενα συνήθως στο εν δυνάμει άπειρο), ενώ όταν την χρησιμοποιούν ως ουσιαστικό δεν είναι ευδιάκριτο ποια σημασία δίνουν σε αυτό (διαδικασία ή αντικείμενο).

Σύμφωνα με την Μπαμπίλη (2010), χρησιμοποιώντας κάποια από τα μαθηματικά παράδοξα θα μπορούσαμε να αναγνωρίσουμε νοητικές λειτουργίες με τις οποίες το άτομο προσεγγίζει την έννοια του απείρου, αφού πολλά μαθηματικά παράδοξα είναι άμεσα συνδεδεμένα με την έννοια αυτή. Σύμφωνα με τους Movhovitz και Hadass τα παράδοξα μπορούν να γεφυρώσουν το χάσμα ανάμεσα στα μαθηματικά και την εκπαιδευτική διαδικασία, μέσω συζήτησης και αντιπαράθεσης καθώς και να προσφέρουν μια ευκαιρία στους/στις μαθητές/τριες να αναπτύξουν τη μαθηματική τους σκέψη (Mamolo & Zazkis, 2008). Η επίλυση ενός παραδόξου αποτελεί ισχυρό κίνητρο για την αλλαγή των πλαισίων γνώσης μέσω της γνωστικής σύγκρουσης, η οποία κατά τον Piaget αποτελεί ουσιώδη πτυχή γνωστικής ανάπτυξης (Mamolo & Zazkis, 2008).

Συγκεκριμένα, το παράδοξο του άπειρου ξενοδοχείου, που αποδίδεται στον Hilbert, είναι κατάλληλο για να διερευνηθεί η διαίσθηση των μαθητών/τριών για το άπειρο και κατά την Μπαμπίλη (2010) έχει δύο ακόμη πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλα παράδοξα. Αρχικά, τοποθετείται σε φανταστικό πλαίσιο, επομένως δεν υπάρχουν συγκρούσεις με την πραγματικότητα (αν και υπάρχουν με τη διαίσθηση) και δεύτερον δεν υπεισέρχεται η παράμετρος του χρόνου που δυσκολεύει κυρίως ψυχολογικά.

Ερευνητικά ερωτήματα

Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα μιας ερευνητικής παρέμβασης αναφορικά με τις αντιλήψεις μαθητών/τριών Α Λυκείου σχετικά με το άπειρο, χρησιμοποιώντας το εργαλείο του άπειρου ξενοδοχείου. Στόχος μας ήταν να διερευνήσουμε τη διαίσθηση των μαθητών/τριών για το άπειρο, τα μαθηματικά εργαλεία που οι μαθητές/τριες χρησιμοποιούν για να τεκμηριώσουν τους ισχυρισμούς τους και τη σταθερότητα των αντιλήψεών τους σχετικά με το άπειρο.

Μεθοδολογία

Συμμετέχοντες – Ερευνητικά εργαλεία

Η έρευνα πραγματοποιήθηκε κατά το χρονικό διάστημα Νοέμβριου-Ιανουάριου το σχολικό έτος 2012-2013, σε ένα τμήμα της Α Λυκείου ενός σχολείου της Αθήνας. Το τμήμα αποτελούνταν από 24 μαθητές/τριες με τους/τις οποίους/ες έγινε μια πρώτη επαφή για ένα δίωρο και στη συνέχεια, έπειτα από μια εβδομάδα, πραγματοποιήθηκε μια  δίωρη παρέμβαση. Κατά την παρέμβαση δημιουργήθηκαν έξι ομάδες των τεσσάρων ατόμων. Σε κάθε μαθητή/τρια μοιράστηκε ένα φύλλο εργασίας. Κατά τη διάρκεια της παρέμβασης συζητούσαμε με τους/τις μαθητές/τριες, ενώ μια από εμάς είχε αναλάβει να συντονίζει τη διαδικασία. Σε τέσσερα από τα θρανία των ομάδων τοποθετήθηκαν μαγνητόφωνα και έγινε πλήρης απομαγνητοφώνηση των συζητήσεων μεταξύ των μαθητών/τριών.

Το φύλλο εργασίας

1. Τι σας έρχεται στο μυαλό με τη λέξη άπειρο;

2.  Το ασυνήθιστο ξενοδοχείο…

Γύρισα στο σπίτι μάλλον αργά και έπεσα κατευθείαν για ύπνο· η συνάντηση στο κλαμπ «Νεφέλωμα της Ανδρομέδας» είχε τραβήξει πολύ μετά τα μεσάνυχτα. Ξύπνησα απότομα από ένα απρόσμενο τηλεφώνημα. Ήταν ο παλιόφιλος και σύντροφος στα διαστρικά ταξίδια καθηγητής Τάραντογκ.

«Επείγον πρόβλημα αγαπητό μου Ιόν», τον άκουσα να μου λέει. «Οι αστρονόμοι ανακάλυψαν ένα παράξενο κοσμικό αντικείμενο, μια μυστηριώδη μαύρη γραμμή η οποία εκτείνεται από τον ένα γαλαξία στον άλλο. Κανείς δεν γνωρίζει τι συμβαίνει. Είσαι η τελευταία μας ελπίδα. Να πετάξεις αμέσως προς το νεφέλωμα ΑCD-1587.»

Την άλλη μέρα, πήρα από την επισκευαστική μονάδα τον παλιό μου πύραυλο φωτονίων, φόρτωσα πάνω το χρονικό επιταχυντή και το ηλεκτρικό μου ρομπότ, το οποίο γνωρίζει όλες τις γλώσσες του κόσμου.  Απογειώθηκα. Θα έπαιρνα την υπόθεση στα χέρια μου.

Μετά από ένα πολύωρο ταξίδι, βρισκόταν επιτέλους μπροστά μου το ξενοδοχείο «Κόσμος». Το μεγαλοπρεπές αυτό κτίριο είχε ανεγερθεί από τους διαστρικούς εξόριστους. Το σπουδαιότερο χαρακτηριστικό του ξενοδοχείου ήταν ο άπειρος αριθμός δωματίων. Οι εξόριστοι ήλπιζαν ότι κανείς δεν θα βρισκόταν ξανά στη δυσάρεστη θέση να ακούσει την ενοχλητική φράση που τόσο τους είχε βασανίσει τον καιρό της περιπλάνησης τους: «λυπάμαι, δεν υπάρχουν ελεύθερα δωμάτια».

Όμως, στάθηκα άτυχος. Οι κοσμικοί ζωολόγοι είχαν έρθει από όλους τους γαλαξίες και ήταν απειράριθμοι έτσι, όλα τα δωμάτια ήταν κατειλημμένα από τους συνέδρους. Δεν υπήρχε δωμάτιο για μένα. Πρέπει να ομολογήσω ότι ο διευθυντής προσπάθησε πολύ για να πετύχει τη συγκατάθεση κάποιων αντιπροσώπων, ώστε να μοιραστώ το δωμάτιο με έναν από αυτούς. Ωστόσο, μόλις διαπίστωσα ότι ο πρώτος υποψήφιος συγκάτοικος ανέπνεε φθόριο και ο άλλος θεωρούσε φυσιολογικό να υπάρχει στο περιβάλλον του θερμοκρασία 860°C, αρνήθηκα ευγενικά τους «ευχάριστους» συγκάτοικους.

Α. Πώς φαντάζεστε το άπειρο ξενοδοχείο; Δώστε μια περιγραφή (λόγια, ζωγραφιά ή ότι άλλο θέλετε).

Β.  Υπάρχει κάποιος τρόπος να φιλοξενηθεί το Ιόν σε κάποιο δωμάτιο του ξενοδοχείου μόνο του;

Γ. Μπορείτε να σκεφτείτε κάποιον άλλον τρόπο να γίνει αυτό; Πόσοι τρόποι νομίζετε ότι υπάρχουν;

Δ. Με ποιο τρόπο θα φιλοξενηθούν 7.809.436 καινούριοι επισκέπτες που ήρθαν αργότερα το ίδιο βράδυ για το συνέδριο διαστρικής ειρήνης;

Ε. Ο ιδιοκτήτης του ξενοδοχείου έχει ένα ακόμα άπειρο ξενοδοχείο, το ξενοδοχείο «Σύμπαν» σε ένα γειτονικό πλανήτη. Το ξενοδοχείο αυτό είναι επίσης γεμάτο και ο πλανήτης δέχτηκε επίθεση στο πλαίσιο ενός διαστρικού πολέμου. Θα είχε νόημα να έρθουν στο ξενοδοχείο «Κόσμος» όλοι οι απειράριθμοι πελάτες; Πώς θα μπορούσαν να φιλοξενηθούν;

Αποτελέσματα

Η διαίσθηση των μαθητών για το άπειρο

Για την εξέταση της διαίσθησης των μαθητών/τριών για το άπειρο, όσον αφορά στις απαντήσεις τους στην ερώτηση «Τι σας έρχεται στο μυαλό με τη λέξη άπειρο;», χρησιμοποιήσαμε την κατηγοριοποίηση της Dötschel (2011), στην οποία προσθέσαμε τις κατηγορίες «συνειρμικές απαντήσεις», ενώ δεν συναντήσαμε -σε αυτό το στάδιο- παραδείγματα ψηφιοποίησης. Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται κάποιες ενδεικτικές απαντήσεις των μαθητών/τριών.

Στο πλαίσιο του άπειρου ξενοδοχείου, η περιγραφή και η σχεδίαση του ξενοδοχείου από τους/τις μαθητές/τριες μάς επιτρέπει να δούμε και άλλες πτυχές της διαίσθησής τους για το άπειρο. Αρχικά παραθέτουμε ορισμένες από τις πλέον αντιπροσωπευτικές ζωγραφιές των μαθητών/τριών:

            Στις εικόνες 1 και 2 παρατηρούμε την τάση των μαθητών/τριών να σχεδιάσουν το ξενοδοχείο χωρίς όρια, ενώ στην τρίτη εικόνα δίνεται έμφαση στο μέγεθος του ξενοδοχείου. Στις εικόνες 2 και 5 φαίνεται ο ρόλος της αριθμογραμμής στην αναπαράσταση του απείρου, ενώ στην εικόνα 6 τα δωμάτια αναπαρίστανται μέσω του περιοδικού δεκαδικού αναπτύγματος. Τέλος, το σύμβολο του απείρου, το οποίο εμπεριέχεται σε όλες τις εικόνες, είναι το κυρίαρχο στοιχείο της αναπαράστασης στην εικόνα 4. Αξίζει να σημειωθεί ότι ένας μαθητής αρνήθηκε να ζωγραφίσει το ξενοδοχείο θεωρώντας ότι, όντας άπειρο, είναι ανέφικτη η απεικόνισή του.

            Κατά τη διαπραγμάτευση του ζητήματος της τοποθέτησης του Ιόντος σε δωμάτιο του ξενοδοχείου, οι μαθητές αντιμετώπιζαν το άπειρο κυρίως ως δυνητικό, παρά ως πραγματικό. Χαρακτηριστικά, η φράση του Γιώργου «Αφού είναι άπειρο το ξενοδοχείο, κάθε φορά δημιουργούνται και άλλα δωμάτια. Αλλά την ίδια στιγμή έρχονται και άλλοι να φιλοξενηθούν.» υποδηλώνει μια εικόνα του απείρου ως αυξανόμενου αριθμού που δεν μπορεί να επιτευχθεί (Mamolo & Zazkis, 2008). Σύμφωνα με τον Monaghan (2001), οι μαθητές/τριες αντιμετωπίζουν δυσκολίες στο να αποδεχτούν το πραγματικό άπειρο.

            Τα αποτελέσματα που προκύπτουν φαίνονται συχνά στους μαθητές/τριες μη ρεαλιστικά και κόντρα στη διαίσθηση, οδηγώντας τους αρκετές φορές σε μια αγνωστικιστική προσέγγιση. Ο Κοσμάς, σε αυτή την κατεύθυνση, διαπιστώνει «Νομίζω με τον  άπειρο αριθμό δεν μπορούμε να συζητήσουμε τίποτα, δεν μπορεί να τον ορίσει κάποιος», ενώ ο Σπύρος σημειώνει ότι «Εφόσον το άπειρο είναι αόριστο, δεν μπορούμε να ξέρουμε αν το Ιόν μπορεί να μείνει μόνο του σε ένα δωμάτιο». Οι Mamolo και Zazkis (2008) εκτιμούν ότι η παράσταση άπειρων διαδικασιών ως μια συνεχής κυκλική εναλλαγή («και το τελευταίο θα πάει πάλι στο πρώτο» με τα λόγια του Αντρέα) αποσκοπεί ακριβώς στη μείωση του επιπέδου της αφαίρεσης.

Τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούν οι μαθητές

Όταν οι μαθητές/τριες πραγματεύονται ζητήματα που αφορούν στο άπειρο, προσφεύγουν συχνά σε προηγούμενες γνώσεις τους (Fischbein, 1979). Αν και παρατηρήθηκαν πρακτικές λύσεις χωρίς την εμπλοκή μαθηματικών (π.χ. «να βάλουν ένα παραβάν»), εντοπίσαμε τη χρήση των ακόλουθων μαθηματικών εργαλείων και διαδικασιών.

• Χρήση της 1-1 αντιστοιχίας. Για παράδειγμα, ο Γιώργος επισημαίνει: «Λέει  ότι το ξενοδοχείο είναι άπειρο, έχει άπειρα δωμάτια. Κι αφού είναι γεμάτα είναι άπειρη και η πελατεία. Άρα, για κάθε ένα δωμάτιο υπάρχει ένας πελάτης στάνταρ».
• Μοντελοποίηση με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ο Αντρέας επιχειρηματολογεί: «Όχι, θα μείνει στο δρόμο γιατί δεν έχει χώρο· για κάθε αριθμό υπάρχει ένας επόμενος και επόμενος… οπότε δεν έχει κενή θέση». Πρόκειται για μια έκφραση της απειρίας των φυσικών αριθμών ως δυναμική διαδικασία (Monaghan, 2001).
• Μοντελοποίηση με δεκαδικό ανάπτυγμα. Εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η μαθηματική μοντελοποίηση της λύσης του ερωτήματος 2Β από το Γιώργο, που κατά την ορολογία της Dötschel (2011) αποτελεί παράδειγμα ψηφιοποίησης. «Δηλαδή είναι σα να έχουμε έναν δεκαδικό που έχει άπειρα ψηφία. Τα πρώτα δεκαδικά ψηφία να είναι 32 333 … δηλαδή από ένα σημείο και μετά να υπάρχει μια περιοδικότητα. Δηλαδή, απλώς δε μπορούμε να βάλουμε το 2 στο τέλος, γιατί άμα βάλουμε το 2 στο τέλος δε θα ήταν περιοδικός αριθμός. Ενώ άμα το βάζαμε στην αρχή, μετά τα υπόλοιπα θα ήταν 333… και θα υπήρχε μια περιοδικότητα. [...] Άρα, πάει ανάλογα με τον τρόπο που θα βάλουμε το Ιόν σε ένα δωμάτιο.»
• Αναγωγή στο πεπερασμένο. Σύμφωνα με τους Tall και Tirosh (2001) οι μαθητές/τριες τείνουν να επεκτείνουν τις ιδιότητες πεπερασμένων συνόλων σε άπειρα (φυσικές διαδικασίες). Χαρακτηριστική είναι η φράση της Ισμήνης: «Ας πούμε ότι τα δωμάτια είναι 200. Αν μετακινηθούν οι ένοικοι κατά ένα, τότε θα μείνει κάποιος απ’ έξω. Όμως, αν δε σταματάνε στο 200 και είναι άπειρα, τότε κάθε δωμάτιο έχει επόμενο.»

Η σταθερότητα των αντιλήψεων των μαθητών

Παρατηρήσαμε ότι δε γίνονται εύκολα μετατοπίσεις στις αντιλήψεις των μαθητών/τριών για το άπειρο. Είναι χαρακτηριστικό ότι στην πλειοψηφία τους οι μαθητές/τριες δεν αποδέχονται τη λύση που προτάθηκε. Επίσης, αρκετοί επανέρχονται σε ιδέες που έχουν απορριφθεί νωρίτερα από το σύνολο της τάξης. Για παράδειγμα, όταν τίθεται το ερώτημα των άπειρων νέων επισκεπτών στο ξενοδοχείο και ενώ έχει αποδομηθεί η ιδέα ότι το άπειρο είναι αριθμός, ο Αντώνης λέει: «Είναι το ίδιο ακριβώς με το ένα και το δύο, απλά είναι λίγο μεγαλύτερο νούμερο». Αντίστοιχα, η παρατηρούμενη απροθυμία τους να αφήσουν πίσω τις ρεαλιστικές απαντήσεις δείχνει κατά τους Mamolo και Zazkis (2008) την ανθεκτικότητα των απαντήσεών τους.

Οι Fischbein κ.ά. (1979) εκτιμούν ότι η διδασκαλία επηρεάζει την εξέλιξη της έννοιας του απείρου αλλά όχι τη διαίσθηση. Επομένως, η μη ενασχόληση με το άπειρο οδηγεί σε μονοδιάστατη -διαισθητική- αντιμετώπιση και άρα στη σταθερότητα των αντιλήψεων.

Συμπεράσματα

            Όσον αφορά στη φύση των διαισθητικών απαντήσεων των μαθητών/τριών, η κατηγοριοποίηση της Dötschel (2011) φαίνεται να είναι ένα χρήσιμο εργαλείο, του οποίου οι δυνατότητες διεύρυνσης αξίζει να μελετηθούν. Παρατηρήθηκε έντονα η τάση των μαθητών/τριών να ανάγουν τα προς επεξεργασία ζητήματα στο πεπερασμένο· τάση την οποία οι Tall και Tirosh (2001) αποκαλούν φυσική διαδικασία. Το φαινόμενο αυτό συνδέεται έντονα με την πραγμάτευση του απείρου ως δυνητικό.

Οι μαθητές/τριες αυθόρμητα χρησιμοποιούν οικεία προς αυτούς/ές μαθηματικά εργαλεία, με τη διαίσθηση άλλοτε να υποβοηθά και άλλοτε να αποτελεί τροχοπέδη στη μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος. Σε κάθε περίπτωση, οι αντιλήψεις τους δείχνουν σταθερές και δύσκολα μεταβαλλόμενες, γεγονός που κατά την Μπαμπίλη (2010) αναδεικνύει τη δυσκολία των μαθητών/τριών κατά την ενασχόλησή τους με το –αντιφατικής φύσης– άπειρο. Κρίνουμε ότι χρήζουν περεταίρω μελέτης τόσο οι αντιλήψεις των μαθητών για το άπειρο όσο και οι προοπτικές της ένταξης της έννοιας του απείρου στη διδασκαλία των μαθηματικών σε μικρότερες τάξεις.

Βιβλιογραφία

Artigue, M. (1997). Teaching and learning elementary analysis: What can we learn from didactical research and curriculum evolution? In Proceedings of 1st Mediterranean Conference on Mathematics, ed. G. Makridis, 207_219. Nicosia, Cyprus.

Dötschel, D. (2011). Zum Verstädnis der Unendlichkeitsbegriffs im Mathematikunterricht. In R. Haug, & L. Holzäpfel (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2011: Vorträge auf der 45. Tagung für Didaktik der Mathematik (S. 207-210). Münster: WTM

Fischbein, Ε., Tirosh, D. & Hess, P. (1979). The intuition of infinity. Educational Studies in Mathematics, 10, 3-40.

Jirotková, D. & Littler, G. (2004). Insight into pupils’ understanding of infinity in a geometrical context. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28 ^th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (pp. 97-104). Bergen, Norway: Bergen University College.

Mamolo, A. & Zazkis, R. (2008). Paradoxes as a window to infinity. Research in Mathematics Education, 10 (2), 167-182

Monaghan, J. (2001). Young peoples’ ideas of infinity. Educational Studies in Mathematics, 48, 239–257.

Μπαμπίλη, Α-Χ. (2010). Διπλωματική με θέμα:  Το μαθηματικό άπειρο, τα παράδοξα και ο νους. Μια διερεύνηση των διαδρομών που ακολουθεί ο νους στην προσπάθεια προσέγγισης του απείρου. Αθήνα: ΕΚΠΑ

Tall, D. & Tirosh, D. (2001). Infinity – The never-ending struggle. Educational Studies in Mathematics, 48, 129-136.

Vilenkin, N. Ya. (2005). Αναζητώντας το άπειρο. Αθήνα: Κάτοπτρο.

Πίσω